引 言

核磁共振（NMR）在诸多科学领域具有独特的应用。与传统真空器件相比，太赫兹频段回旋管具有频率可调和高功率输出等优点，应用于动态核极化 ( DNP) 增强核磁共振 (NMR) 灵敏度，受到广泛关注。1993年MIT^[1]首次研发了用回旋管作为太赫兹源的DNP-NMR系统，该回旋管工作在基波，工作频率140 GHz, 输出功率14 W。日本Fukui大学 FIR FU 研究中心研制出应用于 DNP-NMR 的太赫兹回旋振荡管系列： FUCW II、FU CW IV、FU CW VI和FU CW VII。应用于DNP-NMR频谱实验的频率为394 GHz低电压低电流二次谐波工作的回旋管，输出功率可达10 W以上^[2]。在国内，电子科技大学、中电十二所、北京大学也开展了相关探索研究^[3]。

高次谐波工作的回旋管相对基波工作降低了对磁场的要求，减小回旋管整体体积和重量，或在一定磁场强度下可提高工作频率，然而，面临模式竞争和互作用效率降低的问题。由于首先起振的高次谐波会增加其他模式的起振电流，从而抑制竞争模式的起振^[4,5]，因此可以通过选择合适的起振方案触发工作模式使其首先起振。利用冷腔场计算可获得影响模式起振的关键参数即起振电流，进而确定模式初始工作参数，并利用频域单模稳态理论可以得到回旋管稳定振荡时的模式输出特性。由于频域单模稳态理论不能反映模式起振过程及模式互作用，可通过时域多模模拟仿真直观地观察到模式的起振过程，从而可以进行模式互作用分析。本文以394GHz二次谐波工作的回旋管为例对起振过程进行了详细分析。

1 理论研究

1.1　频域单模稳态理论

频域单模稳态理论即只考虑一个工作模式，高频场为时间谐变函数。由麦克斯韦方程组：

∇×E=-μ∂H∂t , (1b)得到波动方程： ∇2E-1/c2∂2E∂t2=μ∂J∂t , (1c)

稳态时电磁场及电流随时间变化为eiωt，TEmnq模式下，电场可以表达为下式^[6]:

电流表示为： Jr,t=Jwrexpiωt , (1g)

m、n、q 分别为场的角向周期数、径向周期数和纵向周期数，r、φ为圆柱坐标系中的径向和角向坐标，c、Vmnz、ε、μ、kmn分别为光速、场纵向分布、真空电导率、真空磁导率和横向波数。将式(1e)、(1f)和(1g)带入(1c) 并利用贝塞尔加法公式将圆柱坐标转换为引导中心坐标，得到引导中心坐标系中单模稳态场方程:

k¯mn=kmnRa、V¯mnz=VmnzRaη/c2、η、I0、R¯b=Rb/Ra 、r¯L=rL/Ra、s、Λ=ωt-sθ-(m-s)ϕcu¯τ=vτγ/c、u¯z=vzγ/c分别为归一化横向波数、归一化纵向场、电子荷质比、电子注电流、归一化引导中心半径、归一化电子回旋半径、谐波次数、电子回旋谐振失配、电子归一化横向速度和归一化纵向速度，Λ0为电子初始回旋谐振失配，Ra为任意值的归一化量，θ为电子回旋相位，ϕc为电子引导中心角。

电子在回旋管中一边沿轴向向前运动，一边绕引导中心做回旋运动。电子的运动状态通过归一化横向速度u¯τ、归一化纵向速度u¯z、回旋相位θ、归一化引导中心半径R¯b、引导中心角ϕc和归一化回旋半径r¯L来确定。由动量定理及运动学方程，可导出如下电子运动方程：

B¯0=B0Raη/c、γ、ψ、ω¯=ωRa/c分别为归一化外部磁场、相对论因子、场相位和场归一化频率。

1.2　时域多模理论

在时域多模分析中，式(1d)不再成立。高频场Vmn成为空间z和时间t的函数。当腔体品质因数远大于腔体最小品质因数Qmindiff=4πL/λ2时，可以假设腔体场纵向分布是固定的^[7]，一般用高斯场或者冷腔场来表示场纵向分布，本文采用冷腔场表示场的纵向分布。

利用有源麦克斯韦方程组^[7,8,9]进行了多模时域公式推导，电场表达式如下：

将场Vlz,t进行时空分离Vlz,t=FlteiΨlthlz。hzl是最大值为1的场纵向分布函数，l表示不同场模式，ωl表示参考频率，Ψlt为随时间变化的场幅角，Ft为随时间变化的场幅值。将方程(3a)带入波动方程(1c)得到模式l的场表达式如下：

按照稳态求解电子运动方程的方法求解得到时域多模下电子运动方程如下：

电子引导中心演变方程同(2c)-(2g)。式中Ψl、τ¯=ωlt、F¯=Fη/c2、ω¯0l'=ω0l/ωl、Z0分别为模式l的场幅角、归一化时间、归一化幅值、归一化冷腔谐振频率及自由空间阻抗。Q为冷腔场总品质因数，包括绕射品质因数与欧姆损耗品质因数。表示对所有粒子求平均。材料电导率取值为1.7×107 S/m。

2 仿真结果

采用的回旋管结构为三段式圆波导开放谐振腔，腔体结构及工作模式TE261+2场分布如图1所示，工作参数如表I所示。工作模式为TE261+2，主要竞争模式为二次谐波TE261-2、TE262+2、TE263+2、TE061-2和基波TE231-1。 “+” /“-”表示反/同向旋转模式，上标表示谐波次数，下标分别表示角向周期数、径向周期数和纵向周期数。耦合系数表征了电子注与波互作用的强度，电子注与TE_mnq模式第s次谐波互作用的耦合系数如下所示^[5]：

图1 三段式谐振腔几何结构，TE261+2归一化高斯场及热/冷腔场分布

Fig. 1 Geometry of a three-section cavity resonator, normalized Gaussian profile and hot/cold cavity profile

由公式(5)可知，耦合系数与纵向模式数无关，TE261+2, TE262+2, TE263+2 三者的耦合系数相等。图2给出了TE261+2, TE261-2, TE061-2和TE231-1的耦合系数。从Rb为常数的切面看，二次谐波耦合系数对rL的变化比较敏感，随着rL增加快速增加，而基波TE231-1耦合系数变化很小。根据公式rL=γmvτqB知，若增强二次谐波与电子注互作用，则需增加电子注横向能量。当电子将能量传输给场后rL减小，从图2可得rL减小导致二次谐波耦合系数减弱，而基波耦合系数几乎不变，因此相比二次谐波，基波与电子注互作用占有更大优势。从rL为常数的切面看，在电子注引导中心变化时，基波TE231-1的耦合系数始终大于二次谐波。如图蓝色曲面所示当电子注引导中心半径为0.63mm时， TE261+2的耦合系数大于TE261-2和TE061-2但仍小于基波TE231-1的耦合系数。与基波TE231-1相比二次谐波TE261+2耦合系数的劣势可由起振电流弥补。

图 2 不同模式耦合系数随电子引导中心半径及电子回旋半径的变化

Fig.2 The coupling coefficients of different modes vary with the electron guidance center radius and the electron cyclotron radius

利用线性理论^[10]，可以得到起振电流公式如下

其中, G及X定义与文献^[10]一致。me、e、β⊥0分别为电子质量、电子电荷量及电子横向初速度对光速的归一化值。起振电流是模式起振的重要指标，它是模式起振所需的最小电流。由式(6)可知，磁场及电子注电压值会影响起振电流。通过调节外部磁场及电子注电压可进行模式选择。文章中回旋管工作模式为TE261+2,磁场倾斜为0.05 T，各模式起振电流在磁场及电压中的分布如图3所示。为更加清晰地对不同模式的起振电流进行分析，得到了不同模式起振电流分别随磁场及电压变化的二维图，如图4和图5所示。

(a)

(b)

图 3 起振电流在磁场及电子注电压中的分布 (a)工作模式TE261+2及其竞争模式(b)工作模式TE261+2

Fig.3 The distribution of starting current with magnetic field and electron injection voltage of (a) working mode TE261+2 and relevant competing modes (b) working mode TE261+2

图4 工作模式及其竞争模式起振电流随磁场的变化(电压为15 kV)

Fig.4 Start current of relevant modes versus magnetic field (beam voltage is 15kV)

图5 工作模式及其竞争模式起振电流随电子注电压的变化(磁场为7.185 T)

Fig.5 Start current of relevant modes versus beam voltage(magnetic field is 7.185 T)

由图3 (a)可看出TE262+2和TE263+2的起振电流有两簇曲线，即TE_mnq (q>1)模式的起振电流有两个主要分支。为清晰观察TE261+2起振电流在磁场及电压中的分布情况，单独计算了其起振电流，结果见图3 (b)。从图中可以看出在每个电压切面上，起振电流随磁场变化呈现一条U型曲线，图中红色点为U型曲线上最小值点，即最小起振电流点。可以看出当电压增大时，最小起振电流对应的磁场值也增大，最小起振电流值减小。

从图4可看出，基模TE231-1有最小起振电流，但通过选择合适的工作磁场可以避开基模TE231-1的竞争。当工作电流为0.25 A磁场限制在7.183 T 到7.206 T时只有工作模式TE261+2可以起振。图 5可看出当工作电压为15 kV电子注电流为0.25 A时，只有工作模式可以起振。虽然电压为14 kV时工作模式起振电流最小，但在热腔计算中(图 10) 得到电压为 15 kV时输出功率和效率达到最大，所以选择工作电压为15 kV。

图 10 模式输出功率及效率随电子注电压的变化

Fig.10 The output power and efficiency of relevant modes versus beam voltage based on time domain multimode theory and steady state self-consistent theory

耦合系数及起振电流均是在模式起振线性阶段进行模式选择，不能反映出模式互作用对模式起振影响，为了进一步观察模式起振过程中的现象，进行了时域多模计算和模拟仿真，仿真结果如下图所示。

在时域多模计算中考虑了6个模式的模式竞争，即工作模式TE261+2和五个竞争模式TE261-2、TE262+2、TE263+2、TE061-2和TE231-1。图6为时域多模理论下得到的频率偏移随时间变化曲线图。由于只有模式TE261+2与TE261-2能达到稳定振荡，其余四个模式不能起振，得不到稳定工作频率，因而图6未给出其频率偏移。从图中可以看出时间为260ns振荡趋于稳定，稳定振荡时频率偏移为-0.13 GHz，参考频率为394 GHz，由此得到的时域多模下TE261+2与TE261-2工作频率均为393.87 GHz。在频域单模稳态程序下得到的TE261+2热腔工作频率为393.8699 GHz, 与时域多模程序下得到的结果相吻合，频率单模稳态程序与时域多模程序得到相互验证。此外在频域单模稳态程序中，TE261-2模式并不能起振，但在时域多模程序下TE261-2能够稳定振荡，这是由模式非线性互作用造成的。由图7 可得在模式振荡达到稳态时,TE261-2输出功率远小于TE261+2。由时域多模仿真结果可得：当磁场为7.185 T，磁场倾斜为+0.05 T时，工作模式TE261+2为最终主导模式；竞争模式TE261-2在模式互作用影响下也得到稳定振荡，即TE261+2模式的起振可以降低竞争模式TE261-2的起振电流^[11]，协助该竞争模式在硬激励区 (电子注电流小于起振电流区域) 起振。

图 6 频率漂移随时间的变化

Fig. 6 The evolution of the frequency shift versus the time (B₀ is 7.185T, ΔBis 0.05T)

图 7 模式输出功率随时间变化

Fig. 7 The evolution of the output power of relevant modes versus time (B₀ is 7.185 T, ΔBis 0.05T)

图8为将工作电流调到0.3 A时，各模式的输出参数。从该图可以看出，工作电流为0.3 A时，仍然只有TE261+2和TE261-2达到稳定振荡，TE261+2模式依然为主导模式，且两个模式的输出功率比工作电流为0.25 A时大。此外与图7对比，当工作电流为0.25 A时，模式达到稳态所需时间约为260 ns；当工作电流为0.3 A时，模式达到稳态需要的时间约为150 ns。当工作电流越大，模式达到稳态的时间就越短^[12]。

图 8 各模式输出功率随时间变化 (Ib=0.3Α)

Fig.8 Output power versus time when beam current is 0.3 A

为了得到最佳工作点，改变电压、电流观察输出功率及效率的变化。图9为时域多模理论和频域单模稳态理论仿真计算得到的工作模式TE261+2及竞争模式TE261-2随电子注电流及电压的变化图。

图 9 时域多模及频域稳态理论仿真计算的模式输出功率及效率随电子注电流的变化

Fig.9 The output power and efficiency of relevant modes versus beam current based on time domain multimode theory and steady state self-consistent theory

从两图中可以看出通过频域单模稳态计算得到的TE261+2输出功率及效率和通过时域多模计算得到的TE261+2输出功率及效率基本吻合，两个程序的正确性再次得到相互验证。在时域多模程序中TE261-2模式因模式互作用得到起振，其输出功率及效率与TE261+2模式相比很小。从图9看出，当电流增大时，两个模式的输出功率及效率也增大，TE261+2模式的效率在电流0.2 A到0.3 A范围内变化较小，功率近似为线性变化。为满足输出功率要求并且减小能量在管壁上的热损耗，折中选择工作电流为0.25 A。由图10可以看出，增大电子注电压时，两个模式的输出功率及效率随之增加，当工作电压达到15 kV时，工作模式TE261+2功率及效率达到最大值。

3 结论

通过对频域单模稳态理论及起振电流和耦合阻抗的分析，得出磁场为7.185 T,电子注电压为15 kV，电子注电流为0.25 A，磁场倾斜为0.05 T时，工作模TE261+2获得最佳输出。虽然在耦合系数和起振电流的仿真过程中基模TE231-1比工作模式TE261+2占有固有优势，但是由于该基模起振电流对应的磁场与工作模式起振电流对应的磁场间隔较大，所以通过选择合适的磁场值避开了该模式的模式竞争，同时从时域多模仿真中再次验证了在选择的工作点上TE231-1确实不能起振。在起振电流和频域单模稳态仿真结果分析中，只有工作模式TE261+2起振，其余竞争模式的起振电流在工作点上均大于0.25 A，不满足起振条件不能起振。通过时域多模理论计算与仿真发现，除了工作模式，竞争模式TE261-2也稳定振荡。这是由模式互作用引起的，但它的输出功率及效率远远小于工作模式。对比频域单模稳态理论与时域多模理论获得的输出功率及效率结果，两者吻合很好，工作模式TE261+2稳定输出功率为136.8 W，效率为3.6%。该工作为设计高次谐波回旋管提供了系统的分析方法和设计手段。